Codici Correttori

\lettrine{I}{l presente} testo \`e finalizzato
a fornire un'introduzione generale alla teoria algebrica
dei codici ed \`e destinato a studenti del
terzo anno di un corso Laurea di primo livello in Matematica, Fisica
o Ingegneria, oppure del primo/secondo anno di Laurea Specialistica.
Il materiale indicato con il simbolo \danger\
\`e pi\`u specificamente orientato a studenti
degli anni superiori.

Il piano dell'opera \`e il seguente.
\begin{enumerate}
\item Nei primi due capitoli si richiamano alcune nozioni di
teoria matematica della comunicazione; tale teoria fornisce
la giustificazione delle tecniche di correzione di errore
che sono l'oggetto del resto del testo.
\item Nel Capitolo \ref{chap:prelim} si introducono le
nozioni di
codice a blocchi
di correzione, codifica e decodifica di un
messaggio, nonch\'e di equivalenza fra codici.
\item I capitoli dal \ref{chap:Lineari} al \ref{chap:limitazioni}
costituiscono il cuore del lavoro:
in essi vengono studiate numerose famiglie di
codici lineari e si mostra il loro impiego e quali propriet\`a
debbano sempre essere soddisfatte.
\item Il Capitolo \ref{chap:Lineari} \`e finalizzato ad introdurre
i codici lineari, visti come spazi vettoriali, e a presentarne
le propriet\`a generali;
\item Oggetto dei capitoli \ref{chap:ciclici} e \ref{chap:alciclici}
sono un tipo particolare di codici lineari: i codici ciclici. Tali
codici si possono descrivere in modo estremamente conciso e
si rivelano particolarmente utili per correggere alcune
tipologie di errore, quali gli errori concentrati. Questa
classe di errore \`e studiata nel dettaglio nel
Capitolo \ref{chap:Burst}.
\item Nel Capitolo \ref{chap:BCH} si definisce
la costruzione BCH e si studiano i codici da
essa derivati. Uno degli aspetti pi\`u importanti
di tale costruzione \`e che consente di fissare
\emph{a priori} il numero di errori che un
codice deve poter correggere.
\item I codici di Reed--Solomon, oggetto del Capitolo
\ref{chap:RS}, costituiscono forse la pi\`u importante
famiglia di codici lineari a blocchi: sono infatti
implementati in svariati dispositivi di comunicazione
digitale. Fra i motivi del loro successo vi \`e
l'esistenza di eccellenti algoritmi di correzione
specifici, ma anche la possibilit\`a di utilizzarli
per correggere errori di cui
si conosce la posizione
ma non l'entit\`a.
Metodologie per affrontare quest'ultimo problema sono
introdotte nel Capitolo \ref{chap:erasure}.
\item Nel Capitolo \ref{chap:descodici} si presenta
come sia possibile costruire dei codici a partire da
strutture di tipo geometrico--combinatorico; tali
costruzioni sono utilizzate anche nel Capitolo
\ref{chap:golay} per costruire i codici sporadici
di Golay e mostrare che sono perfetti.
\item I codici di Reed--M\"uller sono una possibile
generalizzazione
dei codici di Reed--Solomon; nel Capitolo \ref{cha:geom} mostriamo
come costruirli e, nel caso binario, ne deriviamo alcune propriet\`a.
\item Non sempre \`e facile ottenere direttamente un codice che abbia i
parametri richiesti per un ben definito problema pratico. Tecniche per
determinare codici con il comportamento desiderato, a partire
da codici altrimenti noti, sono presentate nel Capitolo
\ref{cha:derivazione}.
\item Nel capitolo conclusivo di questa parte del libro, il
\ref{chap:limitazioni},
si presentano alcune limitazioni assolute al comportamento di un
codice e si dimostra che, quantomeno a livello teorico, \`e
sempre possibile costruire dei codici con il miglior
comportamento possibile.
\item I capitoli della terza parte del volume (dal \ref{chap:AGcodes}
al \ref{chap:conv})